Physique Oscillation Harmonique¶
| Author: | Vanden Driessche Théo |
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| Date: | November 2017
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Contents:
Phènomènes périodiques¶
Définitions¶
-Un oscillateur est un objet décrivant un mouvement de va-et-vient de
part et d’autre d’une position d’équilibre.
-L’élongation y d’un point P est la valeur algébrique de l’écart de P
par rapport à la position d’équilibre O.
Mouvements Harmoniques¶
Définition¶
Un mouvement harmonique est un mouvement d’oscillation dont la
représentation graphique de l’élongation en fonction du temps est une
sinusoïde.
Amplitude¶
-L’amplitude est l’écart maximal par rapport à la position d’équilibre
c’est à dire l’élongation maximale. On la note A l’unité SI est le
mètre (m).
L’amplitude correspond à la position maximale\(A = y_{(t)max}\)
La période T coresspond au temps mis par oscillation.
La frequence f correspond au nombre d’oscillation par seconde.
Étude mathématique¶
Supposons d’abord que la position \(M_{0}\) du point M à l’instant
t=0 se situe sur CX, à droite de C. L’angle \(\alpha\) formé par
CX et CM, qui vaut 0 à l’instant t = 0, augmente régulièrement puisque
M tourne à vitesse constante.
La vitesse angulaire est l’angle balayé par CM par unité de temps. La
notation est \(\omega\). L’unité SI est le radian/seconde (rad/s).
\[\omega = \dfrac{\alpha}{t} \text{ ou } \alpha=\omega \cdot t\]
de M décrit un mouvement d’oscillation de part et d’autre de C. La
valeur algébrique de CP est l’élongation. On voit que\(-A \leqslant y \leqslant A\)
La période T de P est la durée d’une oscillation complète, ce qui
correspond à un tour complet. Par consequent,
\(\alpha _{(T)}=2\pi\) .
Or \(\alpha=\omega \cdot t\) donc
\(\alpha _{(T)}=\omega \cdot T = 2\pi\)
\(y_{(t)} = CP = QM = CM \cdot sin(\alpha) = A \cdot sin(\omega t)\)
Dynamique¶
\[\begin{split}\begin{aligned}
\Rightarrow \sum F & = -m\omega ^2 y \\
\text{ Où } -m\omega ^2 & \text{ est constant.}\end{aligned}\end{split}\]
Rappel: Loi d’Hooke¶
\[\begin{aligned}
F = -kx\end{aligned}\]
Toute force de ce type provoque un mouvement d’oscillation harmonique par consequent: la période peut être déduite de la relation
\[\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\]
\[T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}\]
Le pendule simple¶
Que peut faire varier la période d’un pendule simple?
-Son Energie de départ (E)
-La longeur de la corde (L)
-la pesanteur (g)
Epot¶
\[\begin{split}\begin{split}
E_{tot} & = E_{pot} + E_{cin} \\
& = mg|AB| \\
& = mg(L-Lcos(\theta_{(t)})) \\
& = mgL(1-cos(\theta_{(t)}))
\end{split}\end{split}\]
Ecin¶
\[\begin{split}\begin{aligned}
E_{cin} & = \dfrac{mv^2}{2} & v = v_{ang}L \\
& & = \theta ' _{(t)}L & \text{ la dérivée de l'angle décrit} \\
& = \dfrac{m(\theta ' _{(t)} L)^2}{2}\\\end{aligned}\end{split}\]
Etot¶
Energie totale est constante (Frottements négligeables).
Donc la variation d’Etot = 0. Par conséquent, sa dérivée vaux zéro.
\[(E_{tot})'=0\]
Nous pouvons donc dire:
\[\begin{split}(E_{pot})' & = (E_{cin} + E_{pot})' \\ 0 & = \Bigg( \dfrac{m(\theta_{(t)}' L)^2}{2} + mgL\Big(1-cos(\theta_{(t)})\Big)\Bigg)' \\ & = \Bigg( \dfrac{m(\theta_{(t)})'^2 L^2}{2} + mgL\Big(1-cos(\theta_{(t)})\Big)\Bigg)' \\ & = \dfrac{2}{2}mL^2 \theta_{(t)} ' \theta_{(t)}'' + mgLsin(\theta_{(t)})\theta_{(t)}' \\ & = L \theta_{(t)}'' + y\cdot sin(\theta_{(t)}) \\ \theta_{(t)}'' & =\dfrac{ -y\cdot sin(\theta_{(t)})}{L}\end{split}\]
\[\begin{split}\text{Si, } \theta < \dfrac{\pi}{6} \text{ ,on a } sin(\theta) \cong \theta \text{ alors,}\\
\theta_{(t)}'' + \dfrac{g}{L} \theta_{(t)} = 0\end{split}\]
Une solution de cette équation différentielle, où l’on suppose que
\(\omega^2 = \dfrac{g}{L}\), est:
\[\theta_{(t)} = \theta_{max} sin(\omega t + \varphi)\]
\[\begin{split}\omega^2 & = \dfrac{g}{L} & \omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}& &\dfrac{2\pi}{T} = \sqrt{\dfrac{g}{L}}\\ T & = \dfrac{2\pi \sqrt{\dfrac{g}{L}}L}{2} & T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} &\end{split}\]
Energie¶
Énergie cinétique¶
\[\begin{split}\begin{split}
E_{cin} = \dfrac{mv^2}{2} & = \dfrac{m\Big(\omega A \cdot cos(\omega t+ \varphi)\Big)^2}{2} \\
& =\dfrac{ m\omega^2 A^2 cos^2(\omega t+ \varphi)}{2} \text{ Par l'égalité fondamentale: } \\
& = \dfrac{ m\omega^2 A^2 \Big(1-sin^2(\omega t+ \varphi)\Big)}{2} \\
& =\dfrac{m\omega^2\Big(A^2-A^2sin^2(\omega t+ \varphi)\Big)}{2} \\
& =\dfrac{m\omega^2(A^2-y_{(t)}^2)}{2} \\
& = \dfrac{k(A^2-y_{(t)}^2)}{2}
\end{split}\end{split}\]
Énergie totale¶
L’énergie totale est égale à l’énergie cinetique lorsque
\(y_{(t)}=0\)
\[\begin{split}\begin{split} E_{tot} & = E_{cinMax}\\ & = \frac{kA^2}{2} \end{split}\end{split}\]
Énergie potentielle élastique¶
Par définition, \(E_{pot} = E_{tot}-E_{cin}\)
\[\begin{split}\begin{split} E_{pot} & = E_{tot}-E_{cin} \\ & = \frac{kA^2}{2} - \dfrac{k(A^2-y_{(t)}^2)}{2} \\ & = \frac{k(A^2-A^2+y_{(t)}^2)}{2} \\ & = \frac{ky_{(t)}^2}{2} \end{split}\end{split}\]
Oscillations amorties¶
Il existe des forces dissipatives, \(E_{mec}\) n’est pas
conservée. Ceci entraine une diminution de l’Amplitude (A) au fil du
temps (t).
En general, \(F_{dissip}=\gamma \cdot v\) où \(\gamma\) est
une constante d’amortissement.
Résonance¶
Définitions¶
- lorsque le transfet d’énergie est maximum, on dit qu’il y a résonance.
Conclusions¶
- Il y a résonance lorsque la fréquence propre du résonateur est égale à la fréquence propre de l’excitateur
- Le transfert d’énergie a donc un caractère sélectif: le résonateur absorbe de façon préférentielle à sa fréquence propre.
Application mathématique¶
\[k= \dfrac{F_p}{x}=\dfrac{m\cdot g}{x}\]
Ondes progressives¶
Définition¶
Transfert d’énérgie sans transfert de matère.
Types¶
- Ondes transversales
- Ondes longitudinales
Vitesse¶
Dépend du milieu et de la nature du signal
Ondes sinusoïdales entretenues¶
Longueur d’onde¶
\[\lambda = v \cdot T = \dfrac{v}{f}\]
Distance minimale entre 2 points en concordance de phase.
Études mathématiques¶
Prenons l’équation en fonction du temps de l’élongation de S (la source) et supposons que \(\varphi = 0\)
\[y_{S(t)}= A \cdot sin(\omega t)\]
P fait la même chose que S avec avec un retard qui correspond au temps mis pour arriver à P.
\[\begin{split}\begin{split}
y_{P(t)} & = A \cdot sin(\omega t + \phi) \\
&= A \cdot sin(\omega (t-t')) \text{ où } t' = \dfrac{d}{v}\\
&= A\cdot sin\Big(\omega t - \omega \dfrac{d}{v}\Big)\\
&= A \cdot sin\Big(\omega t - \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{d}{v}\Big) \\
&= A \cdot sin\Big(\omega t - \dfrac{2\pi d}{\lambda}\Big) \text{ valable pour } t > t'
\end{split}\end{split}\]
Conditions pour que P et S vibrent en concodrance de phase.
\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}k2\pi &= \dfrac{2\pi d}{\lambda} \\\end{split}\\\begin{split}\begin{split}
y_{S(t)} &= y_{P(t)} \text{ et même v}\\
A\cdot sin(\omega t) &= A\cdot sin\Big(\omega t - \dfrac{2\pi d}{\lambda}\Big)\\
sin(\omega t) &= sin\Big(\omega t - \dfrac{2\pi d}{\lambda}\Big)\\
\omega t &= \omega t - \dfrac{2\pi d}{\lambda} + k2\pi \\
0 &= - \dfrac{2\pi d}{\lambda} + k2\pi \\
k\cdot \lambda& = d \text{ } k \in \mathbb{N}
\end{split}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
Conditions pour que S et P soient en oppositions de phase.
\[\begin{split}\begin{split}
y_{S(t)} &= -y_{P(t)}\\
A\cdot sin(\omega t) &= -A \cdot sin\Big(\omega t - \dfrac{2\pi d}{\lambda}\Big)\\
\omega t &= \omega t - \dfrac{2\pi d}{\lambda} + \pi + k2\pi\\
\dfrac{2\pi d}{\lambda}& = \pi + k2\pi\\
\dfrac{2 d}{\lambda}& = 1+2k\\
d&= (2k+1)\cdot \dfrac{\lambda}{2} \text{ } k \in \mathbb{N}\\
\end{split}\end{split}\]
Vitesses des ondes progressives le long d’une corde¶
Dans un référentiel qui se déplace avec l’onde, c’est la corde qui se déplace vers la gauche.
Un petit segment de corde \(\Delta S\) peut être assimilé à un arc de cercle.
\[\Delta S = R(2 \theta)\]
Si \(\mu\) est la densité de masse linéique (la masse par mètre (kg/m)), la masse du segment est:
\[m=\mu \Delta S= \mu R(2\theta)\]
La tension de la corde doit fournir la force centripète nécessaire au mouvement circulaire.
\[\begin{split}
2F_T \cdot sin(\theta) &= \dfrac{mv^2}{R}
\end{split}\]
Si l’amplitude de la déformation est petite, :math:’sin(theta)cong theta’ , alors,
\[\begin{split}\begin{split}
2F_T \cdot sin(\theta) &= 2\mu R \theta \cdot \dfrac{v^2}{R}\\
v &= \sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}}
\end{split}\end{split}\]