Exercices supplémentaires

1. Résous les équations suivantes dans C :

    a. \((1+i)z^2\text{–}(3+i)z-6+4i=0\)

    b. \(z^2-2\sqrt 5z-12i=0\)

    c. \(z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0\)

    d. \(z^2-(3+4i)z-1+5i=0\)

    e. \(z^4+10z^2+169=0\)

   2.

    a. \(z^3=2-2i\)

    b. \(z^3=11+2i\)

Règle :

\(\mathit{si}z_1=r_1\mathit{cis}\phi _1\mathit{et}z_2=r_2\mathit{cis}\phi _2\mathit{alors}z_1\ast z_2=r_1\ast r_2\mathit{cis}(\phi _1+\phi _2)\) \(\mathit{Pour}\mathit{tout}\mathit{naturel}\mathit{non}\mathit{nul}n,\mathit{on}a:(\mathit{cis}\phi )^n=\mathit{cis}(n\phi )\)

\[\mathit{Pour}\mathit{tout}\mathit{naturel}\mathit{non}\mathit{nul}n,\mathit{on}a:(r\mathit{cis}\phi )^n=r^n\mathit{cis}(n\phi )\]

\[\mathit{Si}z=r\mathit{cis}\phi \mathit{Alors}\frac 1 z=\frac 1 r\mathit{cis}(-\phi )\]

\[\mathit{si}z_1=r_1\mathit{cis}\phi _1\mathit{et}z_2=r_2\mathit{cis}\phi _2\mathit{alors}\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\mathit{cis}(\phi _1-\phi _2)\]

Réponse :

  1.

     a. \(S=3-2i;-1+i\)

     b. \(S=\sqrt 5+3+2i;\sqrt 5-3-2i\)

     c. \(S=5-12i,-2i\)

     d. \(S=2+3i;1+i\)

     e. \(S=2+3;-2-3i;2-3i;-2+3i\)

  2.

     a. \(z=2\mathit{cis}(\frac{-\pi }{12}+2\frac{\pi } 3)\)